Логическая функция Y также принимает только два значения: 0 и 1. Она примет значение 1 (невозврат кредита), если произойдет хотя бы одно из событий из Z1-Z20. Вероятности инициирующих событий равны: pj = Р(Zj = 1); qj = 1 – pj. События Z1-Z20 независимы, и сумма их вероятностей pj может быть намного больше 1.

Вероятностную модель риска для формулы (1) запишем как вероятность отказа системы из параллельных элементов (в надежности):

Рс = Р (Y = 1)=1 – q1 q2 q3 q4 q5q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12 q13 q14 q15 q16 q17 q18 q19 q20 (2)

Каждая характеристика кредита имеет в качестве своих атрибутов от 2 до 11 градаций. Логическая переменная Zj также имеет свои атрибуты, и в формулу (2) подставляют вместо вероятности Pj одну из вероятностей Pjr, соответствующей конкретной градации характеристики для данного кредита.

На модели риска оценивают вклады градаций характеристик кредита в риск:

Вj = Рс(р1, …, р j,…,р20) – Рс (р1,…,0,…р20), (3)

Где вероятности р1-р20 заменяют вероятностями для соответствующих градаций рассматриваемого кредита. В совокупности Рс и Вj, j=1,20 полностью определяют риск кредита и слабые стороны кредита (клиента).

Вычислим риск для всех N кредитов, средний риск банка Рсm и средние вероятности Рjm событий Zj, j = 1,20. Тогда по аналогии с формулой (3) вычисляют вклады характеристик кредита в средний риск банка Рсm:

Вjm = Рсm (p1m,…, pjm,…, p20m) - Рсm(p1m,…, 0,…, p20m). (4)

В совокупности Рсm, Вjm, j = 1,20 характеризуют качество работы банка и его клиентов.

Применение модели риска заключается в вычислении вероятностей Pjr, соответствующих градациям, по данным банка о 1000 кредитах, из которых 300 не были возвращены. По каждому кредиту известны его градации по характеристикам и признак возврата (1/0). Общее число градаций и вероятностей Pjr равно 96.

Допустим в первом приближении известны вероятности Pjr. Вычислим по формуле (2) риск Рс для 1000 кредитов и построим гистограмму рисков. Подберем допустимый риск Раd так, чтобы из 1000 кредитов 700 имели риск Рс< Раd, а 300 имели риск Рс> Раd. Таким образом, 700 кредитов получат признак 1 – хорошие кредиты, а 300 признак 0 – плохие кредиты.

Целевая функция для задачи обучения записана так:

F = NSo+NS1--->MAX (5)

Где NSo, NS1 - число кредитов по статистическим данным банка и результатам вычислений, у которых признаки 0 и 1 совпадают.

На шаге оптимизации нужно так изменить вероятности Pjr, чтобы целевая функция (5) увеличилась. Особенность задачи оптимизации в том, что целевая функция дискретна и приращения для половины оптимизируемых параметров нужно давать на «+», а другой половины – на

«-», чтобы не изменять средний риск банка Рсm=300/1000=0,3.

При заданных Pjr условие Рс> Раd разделяет кредиты на хорошие (признак 1) и плохие (признак 0). Оценка риска по ЛВМ и данным банка по некоторым кредитам не совпадают. Так что слева и справа от линии Раd находятся:

(1/1) ---> NS1 – хорошие кредиты по оценкам ЛВ-метода и данным банка

(1/0) ---> N1 - NS1 – хорошие кредиты по оценкам ЛВ-метода и плохие по данным банка

(0/1) ---> N0 – NS0 – плохие кредиты по оценкам ЛВ-метода и хорошие по данным банка

(0/0) ---> NS0 – плохие кредиты по оценкам ЛВ-метода и данным банка

Кредиты 1/1, 0/1, 1/0, 0/0 перемещаются относительно Раd при изменении Pjr. При переходе каких-то кредитов вправо такое же их число переходит влево. Оптимальным будет только то изменение вероятностей Pjr, которое переводит через линию Раd кредиты 1/0 и 0/1 навстречу друг другу. Функция F увеличивается при этом на 2.

После оптимизации вычисляют относительные доли ошибочных решений, которые являются показателями качества распознавания:

Ео = (300 – Nsо)/300 ; Е1=(700 – Ns1)/700 ; Еm=(1000 – F)/1000 (6) Для модели риска предложен метод на основе стохастического обучения нейронных сетей. Задают в первом приближении вероятности Pjr и с помощью датчика случайных чисел генерируют случайные изменения вероятностей d Pjr и прибавляют их к Pjr, далее вычисляют значение целевой функции. Если F больше прежнего значения, то новые веса сохраняют и процесс обучения продолжают, если F не больше прежнего значения, то генерируют новые изменения вероятностей d Pjr.

В процессе применения модели встречаются тупики, когда в цикле из заданного числа попыток случайного поиска не произошло ни одного улучшения целевой функции Fmax.

Тогда осуществляют отступление от Fmax на несколько единиц. При продолжении оптимизации целевая функция стремится достигнуть прежнего уровня Fmax. На новых шагах будут получены уже другие значения Pjr. Поэтому траектория оптимизации искривится, и в результате целевая функция может существенно возрасти. Отступление от цели характерно для шагов оптимизации с середины процесса оптимизации.

Модель риска (табл. З.2) выполнена при числах хороших кредитов N1 = 550, 580, 610, 650, 700, 750 и 800. При этом также определялись: Рс – риск каждого из 1000 кредитов; Fmax – максимум целевой функции; NS1 и NS0 - числа совпадений по 1 и 0; Е1 , Е0 , Еm – ошибки в распознавании кредитов; Раd – допустимый кредитный риск; Со/С1 – отношение числа нераспознанных плохих 0/1 и хороших 1/0 кредитов (отношение потерь при нераспознании плохого и хорошего кредитов).

Показатели качества ЛВ-модели риска для оптимальных вариантов N1 =610: Ео=16,7%, Е1 = 20,1%, Еm = 19,1% и N1 =650: Ео=20,7%, Е1 = 16,1%, Еm = 17,5%.

В данной модели риска рассматривают кредитные заявки. Банк оценивает риск кредита Рс, и если он больше установленного допустимого риска Раd, то кредит считается плохим. Вероятность ошибки в оценке кредитов при этом будет не Рсм=0,3 как ранее, а всего Ео=16,7%, Е1 = 20,1%. Таким образом, банк может снизить процент за кредит и назначить его в зависимости от риска Рс. Если через какое-то время обработать новые данные по кредитам, то средний риск банка будет близок к Рсm = 0,2.

Для оптимальной настройки N1 =610 определены также средние вероятности Рjm, j=1,20 и средние вклады В1m - В20m событий Z1-Z20 в средний кредитный риск банка Рсm. Диапазон изменения Рjm довольно велик: 0,0109-0,0227, что свидетельствует о возможности снижения потерь средств в банке. Наибольший вклад в средний риск банка вносят события Z6, Z11, Z19, Z20.

Большая адекватность ЛВ-модели риска объясняется просто. Средняя вероятность событий Z1-Z20 при условии наступления только одного события в случае неуспеха кредита равна: Рj=(300/1000)/20=0,015. Но если все Рj=0,015, то по формуле (2) получим Рс=0,2608, а не Рсm=0,3, как это должно быть. Только при средней вероятности событий Рj=0,0176 риск кредита по формуле (2) будет равен Рс=0,3.

Таблица 3.2 - Результаты исследований кредитного риска.

Отношение Рj/ Рj=1,176 означает, что в среднем причиной невозврата каждого из 300 кредитов было 1,176 события, т. е. причиной невозврата некоторых кредитов было одно какое-то событие, а некоторых – два и более событий. Ни одна из известных методик не моделирует такие ситуации.