Другими словами, задача классификации состоит в определе­нии неких агрегированных состояний ОУ - в создании некоторо­го классификатора, эталона, по которому можно оценивать ре­альные состояния ОУ.

Термин «агрегирование» в первоначальном смысле означает объединение составных частей системы в рамках общей функци­ональной задачи. Применительно к задаче классификации этим термином обозначается объединение ряда состояний объекта, обладающих теми или иными общими свойствами. Совокупность общих признаков, характеризующих некоторое множество реаль­ных состояний объекта, назовем его агрегированным состояни­ем. Оно получается разбиением по определенным правилам все­го множества состояний контролируемого объекта на ряд под­множеств. На основании анализа состояний, включенных в под­множество, формируется агрегированное состояние, в котором в той или иной форме запечатлены общие свойства всех состояний данного подмножества.

Согласно постановке задачи классификации требуется опре­деление не конкретного состояния ОУ, а некоторого класса, в который данное состояние входит.

Таким образом, агрегированные состояния содержат в себе обобщенные признаки, которые характеризуют состояние ОУ. Именно эти состояния задают множество состояний объекта Е, подлежащих распознаванию при идентификации. Другими сло­вами, множество агрегированных состояний задаёт виды состоя­ний, с одним из которых отождествляется наблюдаемое состоя­ние объекта, т.е. всякое агрегированное состояние является фор­мальным представлением (изображением) соответствующего ему вида состояния.

Отдельные состояния, входящие в агрегированное состояние, должны находиться в отношении эквивалентности. Отношением эквивалентности называется бинарное отношение ()=УхУ, обла­дающее следующими свойствами:

рефлексивностью у У е У, (у, у) е()\

симметричностью (у_/;у₂) е <2 => (у2, у^ е О;,

транзитивностью (у,, у₂)е ()& (у₂,у₃) ^й=^{у,. У₃) е <2 Отношение эквивалентности задает разбиение множества У

всех состояний объекта на непересекающиеся классы, каждый из которых содержит эквивалентные в том или ином смысле состо­яния ОУ, т.е. осуществляет факторизацию этого множества.

Таким образом, задание видов состояний для конкретного объекта заключается в факторизации множества его возможных состояний с учетом практических требований, вытекающих из существа задачи контроля.

Состояния объекта наблюдаются на множестве выходных сиг­налов У, поэтому всякий элемент этого множества можно рас­сматривать как к-ю точку и-мерного пространства, поскольку компоненты У представляют собой численные значения наблю­даемых характеристик в выбранных контрольных точках, общее число которых и. 15-2°

Каждому элементу множества У (наблюдаемому состоянию объекта) ставится в соответствие определенный элемент множе­ства Е, т.е. определенный вид состояния. Очевидно, что число задаваемых видов состояний должно соответствовать числу клас­сов, получаемых при факторизации множества У.

Обозначим получающиеся при этом фактор-множества через У/£). С учетом этого обозначения операцию факторизации мо­жем записать в виде отображения

<р:У-> У/0.

Принципы построения фактор-множеств основываются на теории алгебраических структур, в частности теории групп. В терминах данной теории множество У является группой относи­тельно ассоциативной операции сложения, определенной на этом множестве. Класс, содержащий эквивалентные по свойству (? со­стояния у, е У называется смежным классом или классом экви­валентности. Множество, образованное из классов эквивалент­ности У, дает нам фактор-множество У/£>, т.е. У/2 = {У}. Фак­тор-множество должно быть таким, чтобы искомое множество Е находилось с ним во взаимно однозначном соответствии. Это воз­можно, если отображение <р : У —* У/£) есть гомоморфизм, т.е. отображение, при котором сохраняется операция, заданная на множестве У

Необходимость выполнения этого условия является первым требованием при факторизации множества состояний объекта.

Для задания отношения эквивалентности необходимо оп­ределить разбиение множества У на непустые, попарно не пе­ресекающиеся части У,, /=1, 2, ... , т, обладающие теми или иными общими свойствами. В этом случае подмножества У_у яв­ляются смежными классами (классами эквивалентности), т.е. У<=У/<2.

При контроле требуется установить, какими свойствами из этих классов наблюдаемое текущее состояние объекта обладает в наибольшей степени. Для этого необходима соответствующая мера, одинаково применимая ко всем классам. Такой мерой мо­жет служить расстояние между точкой, изображающей наблюда­емое состояние объекта в некотором пространстве, и другими точками одного класса. При решении вопроса о принадлежно­сти наблюдаемого состояния объекта одному из классов пред­почтение отдается тому из них, к точкам которого испытуемая точка расположена ближе по сравнению с другими классами. Эта задача может быть решена тем успешнее, чем плотнее располо­жены точки, изображающие состояние одного класса, и чем бо­лее отдалены они от точек, изображающих состояния других клас­сов. Иными словами, для решения задачи классификации классы У_у должны обладать свойством компактности - представлять со­бой компактные множества в метрическом пространстве. Обес­печение компактности формируемых классов является другим тре­бованием для факторизации множества состояний объекта. В об­щем случае это требование на практике не выполняется. Поэто­му формируемые классы преобразуются в компактные классы на основе принципа сжимающих отображений.

Сжимающее отображение полного метрического простран­ства У в себя имеет единственную неподвижную точку в .каждом из классов. Эти точки являются наилучшим приближением к лю­бой точке данного класса и могут рассматриваться как изобра­жение в пространстве У агрегированного состояния /-го класса. Воздействуя сжимающим отображением на каждое из наблюдае­мых состояний у{() объекта, принадлежащих /-му классу, полу­чим множество преобразованных состояний, также принадлежа­щих /-му классу, но уже удовлетворяющих требованию компакт­ности. Вновь испытуемое состояние у(1) объекта, о котором не­известно, к какому классу оно относится, также должно быть преобразовано с помощью сжимающего отображения.

Решение о принадлежности состояния ОУ одному из классов принимается по критериям (решающим правилам) на основе из­мерения расстояний от испытуемой точки до неподвижных (цен­тральных) точек каждого класса.

Поиск неподвижной точки может быть осуществлен и други­ми способами, рассматриваемыми в теории классификации (ме­тодами стохастической аппроксимации, обучения и т.д.), но все они в той или иной мере используют идею принципа сжимающих отображений.

Отметим, что сжимающим отображением является, например, матрица преобразования и, составленная из собственных векто-15*

ров корреляционной матрицы измеряемых параметров объекта, причем эти векторы упорядочены в матрице по убыванию соот­ветствующих им собственных чисел.

3. Решение задачи идентификации (распознавания образов). Третьей задачей, решаемой в процессе контроля, является задача идентификации, которая в прямой постановке заключается в оп­ределении оптимальной в некотором смысле оценки преобразо­вания ф по реализации входных х и выходных у характеристик объекта.

Формально это преобразование задается отображением

ф : Е 5,

где 5 - оценка реального состояния, полученная на основе измерения входных и выходных характеристик объекта.

Другими словами, определенному виду состояния объекта Е преобразование ф ставит в соответствие вполне конкретное ре­шение 5 о его истинном состоянии с учетом вероятностных ха­рактеристик возможных ошибок при контроле, погрешностей выполняемых измерений и помех.

Условно эту задачу можно назвать этапом построения моде­ли контролируемого объекта и непосредственного контроля ОУ. По принятой терминологии процесс построения модели объекта называется идентификацией оператора ф.

На практике оператор ф идентифицируется путем отождеств­ления обусловленного им состояния ОУ с одним из априорно за­данных классов состояний по результатам измерений входных и выходных характеристик.

В ряде случаев точные результаты дает контроль по парамет­рам модели ОУ (например, по отклонениям от требуемого состо­яния). В этих случаях по результатам измерения входных и вы­ходных сигналов ОУ (последний предполагается полностью на­блюдаемым) определяется закон его функционирования, который непрерывно сравнивается с законом, заданным теоретически, и по результатам сравнения принимается решение о правильности функционирования объекта. Здесь имеет место решение задачи идентификации в прямой постановке.