Внизу под планом указывают масштаб плана, вычерчивают линейный или поперечный масштаб, справа указывают фамилию исполнителя съемки и составителя плана, а слева фамилии принимавших и проверявших все полевые и камеральные документы по съемке и составлению плана с личными подписями всех этих лиц.

Лекция 14.

Способы определения площадей

1.Способы определения площадей.

2.Аналитический способ.

3.Графический (геометрический) способ.

4.Определение площадей палетками.

5.Механичекий способ.

1. В зависимости от хозяйственного значения участков и контуров, их размеров, формы, наличия или отсутствия планов и карт, естественноисторических условий местности.

а) Аналитический – площади вычисляют по результатам измерений линий и углов на местности с применением формул геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. Например, при учете площадей, занятых строениями, усадьбами, площадей вспашки, посева, при отводе мелких участков их разбивают на простейшие геометрические фигуры, преимущественно треугольники, прямоугольники, реже трапеции и площади участков определяют как суммы площадей отдельных фигур, вычисляемых по отдельным элементам (высотам и основаниям) по общеизвестным формулам геометрии. При учете вспашки, посева, уборки урожая, площади определяют также по длине маршрута агрегата и ширине его захвата. Площади больших участков, целых землепользований вычисляют по результатам измерений линий и углов на местности (при помощи формулы тригонометрии) или по их функциям – приращениям координат и координатам вершин полигона.

б) Графический – площади вычисляют по результатам измерений линий на плане или карте, когда участок, изображенный на плане разбивают на простейшие геометрические фигуры, преимущественно треугольники, реже прямоугольники и трапеции. В каждой фигуре измеряют высоту и основание, но которым вычисляют площадь: сумма площадей фигур дает площадь участка (подробнее с картинками, удвоенная площадь). К графическому способу относят определение площади палетками.

2. Аналитический способ. Вычисление площади полигона по координатам его вершин.

Площадь полигона 1-2-3-4-5, которую обозначим через Р, можно представить как разность площадей фигур А-1-2-3-4-В и А-1-5-4-В, при этом площадь каждой из этих фигур может быть представлена как сумма площадей трапеций с основаниями х и высотами у₂-у₁; у₃-у₂ и т.д. т.е. Р=_плошА-1-2-3-4-В – _площА-1-5-4-В=

=1/2(х₁+х₂)(у₂-у₁)+1/2(х₂+х₃)(у₃-у₂)+1/2(х₃+х ₄)(у₄-у₃)-1/2(х₄+х₅)(у₄-у₅)-1/2(х₅+х₁)(у₅ -у₁) в двух последних членах можно изменить знаки и все выражение записать так:

2Р=(х₁+х₂)(у₂-у₁)+(х₂+х₃)(у₃-у₂)+(х₃-х₄ )(у₄-у₃)+(х₄+х₅)(у₅-у₄)+(х₅+х₁)(у₁-у₅) в полученном выражении наблюдается закономерность, что удвоенная площадь полигона равна сумме стольких произведений, сколько вершин имеет полигон, при этом в каждом произведении один сомножитель есть сумма абсцисс двух соседних точек с номерами п и п+1; а другой сомножитель – разность ординат этих точек с номерами п+1 и п. Это дает возможность сокращенно написать формулу для любого п-угольника

из этой формулы можно получить много других формул, выражающих площадь полигона через приращение координат и через координаты вершин. Выведем 3 наиболее известные формулы вычисления площади полигона по координатам его вершин. Для этого раскроем скобки

, но в этом выражении

получим что обе части этого равенства представляют сумму произведений абсциссы каждой точки на ординату этой же точки. Тогда вместо получим:

, теперь в этой формуле можно произвести замену

, потому что обе части этого равенства представляют суммы произведений абсциссы каждой точки на ординату последующей точки учитывая , перепишем выражение

, или вынесем за скобки получим следовательно, удвоенная площадь полигона равна сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс предыдущей и последующей точек.

Аналогично в выражении можно произвести замену: и с учетом перепишем выражение , или вынося за скобки получим: , т.е. удвоенная площадь полигона равна сумме произведений каждой абсциссы на разность ординат последующей и предыдущей точек.

Результаты вычислений по формуле 3 и 4 можно контролировать разности (суммы их =0). Перед вычислением площади, значения координат можно округлить до 0,1 м, а если площадь полигона более 200 га, то до 1м, т.к. это округление упрощает вычисления без заметного снижения точности результатов вычисления площади.

Площадь, выходящую за пределы полигона, т.е. часть её между сторонами полигона и живым урочищем определяют как сумму площадей трапеций и треугольников, образованных сторонами полигона и перпендикуляров, длины которых получены из измерений на местности и записаны в абрисе. Некоторые элементы треугольников определяют по плану. Площади отдельных треугольников определяется по известной формуле тригонометрии , т.е. удвоенная площадь треугольника равна произведению двух сторон на sin угла между ними. (Более детально о геометрическом способе определения площадей с рисунками).

Определение площадей палетками

Квадратные палетки(до 2 см² на плане)

Параллельные палетки

Следовательно, чтобы получить площадь контура, нужно взять сумму средней линии, т.е. сумму отрезков параллельных прямых, проходящих внутри контура и умножить на расстояние между ними (с помощью курвиметра) (до 10 см² на плане).

Лекция 15

Механический способ определения площадей

1.Полярный планиметр и его теория.

2.Цена деления полярного планиметра и способы ее строения.

3.Испытания и поверки планиметра.

1.Планиметром называется механический пробор, дающий возможность путем обвода плоской фигуры любой формы определить ее площадь. Они бывают самых разнообразных систем от очень сложных до самых простых. Планиметры делятся на линейные и полярные.

Наиболее распространены полярные планиметры состоят из двух рычагов (обводного R и полюсного R₀), соединенных шарниром в т.а. (показать полярный планиметр и его устройство, подробно рассказать, как им пользоваться). Планиметр компенсационный с переменным обводным рычагом. Компенсационным планиметром можно измерять площадь двумя полуприёмами – полюс слева, полюс справа.

Когда мы работаем с планиметром, то видим, что счетный ролик вращается в прямом и обратном направлении, но в итоге мы получаем площадь(в единицах планиметра). Как это объяснить?

Для этого надо проникнуть в теорию полярного планиметра.

Изобразим схематически полярный планиметр. Здесь - вертикальная проекция оси вращения рычагов на плоскости бумаги. - вертикальная проекция обводного индекса на плоскости бумаги - длина обводного рычага, т.е. расстояние от обводного индекса до оси вращения рычагов . - длина полюсного рычага, определяемая расстоянием от полюса до оси вращения рычагов - расстояние от оси вращения рычагов до плоскости счетного ролика .

Кроме того, обозначим через величину одного деления планиметра, через – число делений, на которые обернется счетный ролик при обводе фигуры и через - дугу, на которую обернется счетный ролик. Величины определяют площадь обведенной фигуры.

Для правильной работы планиметра требуется выполнение основного геометрического условия – на направление рифельных штрихов на ободке счетного ролика должно быть параллельно оси обводного рычага, т.е. линии, проходящей через т.т. и .