Лекция Постановка и решение задач систем массового обслуживания. Многоканальные системы с отказами

12. Постановка и решение задач систем массового обслуживания. Многоканальные системы с отказами

Вопросы темы:

1. Многоканальная система с отказами. Задача Эрланга

2. Системы массового обслуживания с ожиданием (очередью)

3. Одноканальная система с неограниченной очередью

4. СМО с ограниченной очередью

12.1 Многоканальная система с отказами

Задача Эрланга. Пусть имеется каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью , поток обслуживаний имеет интенсивность . Определить предельные вероятности состояния системы и показатели эффективности.

Система имеет возможных состояний. Состояние означает занятость -каналов или количество заявок пребывающих в системе в данный момент времени. Граф состояний имеет вид, соответствующий модели процесса гибели и размножения.

Поток заявок последовательно переводит из любого левого состояния в соседнее правое с постоянной интенсивностью . Интенсивность потока обслуживаний заявок, переводящего систему из любого правого состояния в соседнее левое постоянно меняется в зависимости от состояния и для к - го состояния равна .

Для схемы процесса гибели и размножения формулы предельных вероятностей имеют вид:

, , …,

или с учетом постоянства интенсивности потока :

, , …,

Заменив , где - интенсивность нагрузки канала или приведенная интенсивность потока заявок, получим:

, , …,

В данном виде, формулы предельных вероятностей, называются формулами Эрланга. Показатели эффективности многоканальной СМО с отказами.

Вероятность отказа:

Относительная пропускная способность системы:

Абсолютная пропускная способность системы:

Среднее число занятых каналов или математическое ожидание числа занятых каналов: , где - предельные вероятности состояния.

Задача: Заявки на телефонную станцию поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора 2 минуты. определить показатели эффективности работы СМО в случае одного телефонного номера. Определить оптимальное число телефонных номеров, если в качестве показателя эффективности принять относительную пропускную способность системы > 0,90.

Решение: Ранее определены показатели эффективности системы для случая одного телефонного номера.

Интенсивность потока заявок: (1/час).

Среднее время обслуживания: (мин.)

Интенсивность потока обслуживаний: (1/час)

Относительная пропускная способность системы:

В среднем обслуживается 25% из числа поступивших заявок.