для которого

Вероятность того, что за время  не произойдет ни одного события

Вероятность того, что за период времени t не появится ни одного из последующих событий

Вероятность противоположного события

Плотность вероятности случайной величины

Интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение для которого

Свойство показательного распределения: если промежуток времени, распределенный по показательному закону уже длился некоторое время , то это не влияет на закон распределения оставшейся части.

Если поток простейший с интенсивностью то вероятность попадания на малый отрезок времени хотя бы одного события потока

11.4 Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния.

Пусть марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем формируется работой устройства из двух узлов, каждый из которых может выйти из строя, перейти в состояние ремонта, в котором может находиться в течение заранее неизвестного случайного периода времени.

Полагаем, что все переходы из в происходит под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями (i, j = 0,1,2,3).

Переход из в происходит под воздействием потока отказов первого узла.

Обратный переход из в происходит под воздействием потока "окончание ремонтов первого узла".

Вероятностью i-го состояния называется вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии . В любой момент времени

Пусть система S находится в некотором состоянии в момент времени . Определим вероятность нахождения системы в состоянии в момент времени .

1. Система в момент времени , с вероятностью находилась в и за время не вышла из него.

Вывести систему из состояния можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью с вероятностью приближенно равной .

Вероятность невыхода системы из состояния равна .

По теореме умножения вероятностей, вероятность того, что система находилась в состоянии и не вышла из него за время равна:

2. Система в момент с вероятностями (либо ) находилась в (либо ) и за время перешла в состояние . Потоком интенсивностью (или ) перейдет в с вероятностью (или ). Вероятность нахождения в состоянии по этому способу (или ).

По теореме сложения вероятностей

или

Предельный переход задает производную:

Для других состояний системы можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний

(1)

Правило составления системы уравнений Колмогорова.

В левой части каждого из уравнений стоит производная вероятности -го состояния. В правой части - сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного ( -го) состояния.

В системе (1) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений, поэтому для решения системы необходимо добавить условие, и задать начальное состояние системы в момент времени .

Систему (1) следует решать при условии, что система находится в состоянии и , .

Уравнения Колмогорова позволяет найти все вероятности как функции времени и определить финальные вероятности в стационарном режиме при .

.Условие существования решения

Если число состояний системы конечно и из каждого из них можно, за конечное число шагов, перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельные вероятности состояния определяют среднее относительное время пребывания системы в -ом состоянии.

Например: определяет, система, в среднем, половину времени находится в состоянии .

Учитывая, что предельные вероятности есть постоянные величины, и, соответственно производные по времени равны нулю, систему (1) можно представить в виде:

(2)

Система уравнений Колмогорова, в виде (2) интерпретируется следующим образом: слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков ведущих из данного состояния, справа - сумма произведений интенсивностей всех потоков входящих в -е состояние, на вероятность тех состояний, из которых исходят .