Лекция Элементы теории систем массового обслуживания

11. Элементы теории систем массового обслуживания

Вопросы темы:

1. Основные понятия. Классификация СМО.

2. Понятие марковского случайного процесса.

3. Потоки событий.

4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния.

11.1 Основные понятия. Классификация СМО

Задачей теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, производительность каналов, характер потока заявок) с показателями эффективности СМО, которые оценивают ее способность обслуживать поток заявок.

В качестве показателей эффективности СМО используются:

· среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

• среднее число заявок в очереди;
• среднее время ожидания обслуживания;
• вероятность отказа в обслуживании без ожидания;

· вероятность превышения количества заявок в очереди заданного значения.

СМО разделяются на два основных типа:

• СМО с отказами;

· СМО с ожиданием (очередью).

В СМО с отказами поступающая заявка в момент когда все каналы заняты получает отказ и покидает систему. В СМО с ожиданием заявка поступающая в систему когда все каналы заняты становится в очередь на обслуживание.

СМО с ожиданием подразделяются на системы с ограниченной и неограниченной длинной очереди или с неограниченным временем ожидания. Дисциплина обслуживания определяет порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок их распределения между свободными каналами обслуживания.

Принцип обслуживания заявок, - "первая пришла - первая обслужена", "последняя пришла - первая обслужена", "обслуживание с приоритетом".

Приоритет может быть абсолютным, когда более важная заявка вытесняет из очереди всех, или относительным, когда проводится перестановка очереди на обслуживание.

11.2 Понятие марковского случайного процесса

Функционирование СМО представляет собой некоторый случайный процесс.

Случайным (вероятностным, стохастическим) процессом называется процесс состояние которого изменяется согласно вероятностных закономерностей.

Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если все его возможные состояния можно заранее перечислить и переход из одного состояния в другое происходит скачкообразно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты перехода происходят в заранее не фиксированные, случайные, моменты времени.

Процесс работы СМО представляет случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Состояние СМО меняется скачкообразно, в случайные моменты времени, с появлением некоторых событий (например, приход новой заявки, окончание обслуживания).

Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в данное состояние.

Процессы с дискретным состоянием описываются геометрической схемой, графиком состояния.

Пример: Устройство состоит из двух узлов, каждый из которых в случайные моменты времени может выйти из строя и в состоянии ремонта находится заранее неизвестное время.

Состояние - оба узла исправны, - первый ремонтируется, второй - исправен, - второй ремонтируется, первый исправен, - оба узла ремонтируются.

Предполагается, что выходы узлов из строя независимы друг от друга и вероятностью одновременного выхода узлов из строя и одновременного окончания ремонта можно пренебречь.

11.3 Потоки событий

Поток событий - последовательность однородных событий следующих одно за другим в некоторые случайные моменты времени (телефонная станция, звонки, поток покупателей).

Основная характеристика потока событий, - интенсивность , - среднее число событий поступающих в СМО в единицу времени. Интенсивность стационарного потока величина постоянная.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные интервалы времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся интервалов времени , число событий, попадающих на один из них не зависит от числа событий попадающих на другой.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый интервал времени двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события (пример: поток поездов подходящих к станции, - ординарен, поток вагонов, -неординарен).

Поток событий называется простейшим, или стационарным пуассоновским, если он одновременно стационарен, ординарен, и не имеет последействия.

При наложении достаточно большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков, сравнимых между собой по интенсивностям , получается поток близкий к простейшему с интенсивностью