КОНЦЕНЦІЯ ДВОРІВНЕВОГО ПІДРУЧНИКА та особливості викладання за підручником Галини Апостолової „Геометрія-9”

Проблеми якості освіти останнім часом стає наріжним каменем і національним пріорітетом освітньої політики багатьох держав, оскільки відзеркалює світову тенденцію іноваційного розвитку освітніх систем. Такий соціальний вибір не випадковий, оскільки в сучасному суспільстві знань якісь освіти є головним аргументом у забезпеченні високого рівня життєвої і професійної компетентності людини.

Вже стало традиційним усі наші біди списувати на “економічні негаразди”. Але ж економічні кризи значною мірою зумовлюються кризою духовною, освітньою, зрештою психологічною.

Середня освіта має за мету підготовити людину, що дорослішає, до життя у суспільстві. Яке суспільство, яке життя – така і освітня система. Змінюється життя, змінюється і школа. Коли життя змінюється швидко – освіта не встигає оновлюватися, бо здійснюють педагогічну діяльність люди, які самі є продуктом виховання певних, і в такому разі застарілих, вимог життя суспільства.

Стосовно передачі сукупних знань людства, то їх обсяг зростає як мінімум з геометричною прогресією. А технології навчання окремої людини залишаються практично без суттєвих змін і не забезпечують адекватного зростання ефективності засвоєння знань. До цього часу збільшення навченості досягається в основному екстенсивним шляхом: збільшенням учнівського навантаження. І все одно засвоїти все, що пропонує інформаційний простір неможливо, навіть, якщо розпочинати навчати дитину читати з пелюшок і посадити за парту з 6 років.

Чи знає вихователь і педагог до життя у якому суспільстві він готує сьогоднішню дитину, які саме знання їй знадобляться? От і виходить, що потрібно готувати не комплекс певних знань в учня, а вміння мислити і самостійно працювати з новою інформацією. При тому математику майже у всіх країнах уважають одним із фундаментальних предметів шкільної освіти.

У всьому світі все більше зростає розуміння того, що ефективність кожного як громадянина суспільства та успіх кожного громадянина на ринку праці надзвичайно зростає завдяки знанню математики і, що важливіше, вмінню використовувати математику. Кількість професій, які потребують високого рівня майстерності у використанні математики або використанні математичних методів міркувань, бурхливо зростає із розвитком технологій та сучасних методів менеджменту. (Саме це зазначено, наприклад, у засадах міжнародного проекту TIMSS.)

Таким чином, сучасність вимагає від середньої школи переорієнтації з мети навчання учнів математики заради знання самої математики, на навчання математики як засобу розвитку мислення й особистості людини.

Це обумовлює зміну вимог і до підручників математики. Підручник замість представлення стандартної сукупності фактів повинен перетворитися на підручний засіб для вчителя, що допоможе йому здійснити діференційований (тобто націлений на кожну особисть з її індивідуальними здібностями й особливостями сприйняття) підхід в роботі з розвитку в учнів Логічного и систематичного мислення; Вміння включати інтуїтивні та індуктивні міркування, що спираються на певні схеми і закономірності; здатність переносити знання та вміння на нові ситуації; здійснювати взаємодію між різними вміннями; проводити розумові дії, які входять до області обгрунтування.

Окрім того, для учня підручник має стати засобом, який не просто відворює сказане вчителем у класі, не тільки повторити й узагальнити вивчене, а ще йрозшити та поглибити знання предмету, усвідомити, що математика є величезним досягненням людства, зрозуміти та оцінити внутрішню природу, гармонійність та цілісність математики, підготуватися до математичних змагань, опрацювати певний додатковий матеріал для реферативно-дослідницької роботи, доповіді чи просто з зацікавленості.

Враховуючи специфіку нашого сьогодення, коли мало хто має мотивацію й можливість придбати додаткову літературу бажано, щоб Підручник поєднував в собі й різнорівневий задачник, і різнорівневий довідник, книги для читання з елементів логіки, історії математики, посібник з позапрограмного матеріалу.

Саме це і намагається реалізувати Г. В. Апостолова, як автор дворівневих підручників з геометрії 7-9 класів.

Ці підручники НАДАЮТЬ МОЖЛИВОСТІ, а вже як вони будуть реалізовані – то справа школи, вчителя, учня та його батьків.

Вчителі не звикли до того, щоб мати вибір не тільки дидактичного, а ще й теоретичний матеріалу, залучати до проведення занять матеріал „для ознайомлення”, тим паче з історії математики, проводити позакласні заняття як продовження роботи у класі.

Розглянемо, можливості такої роботи з учнями на прикладі викладання окремих тем курсу.

ВСТУП Уроки 1-2. Доцільно присвятити повторенню основного навчального матеріалу за курс 7 - 8 класів. У роботі допоможуть форзаци підручника, інформація на полях вступу, опорні схеми наприткінці підручника та запитання для повторення. Більшість з цих питань сформульовано таким чином, що їхнє змістовне наповнення уточнгює вчитель, враховуючи особливості викладання предмету в конкретному класі. Наприклад, у відповідь на питання: „Які властивості бісектрис трикутника ви знаєте”, можна обмежитися властивістю бісектрис про відношення довжин відрізків на які вони поділяють сторону трикутника, а можна:

·  пригадати з учнями властивість бісектрис як ГМТ рівновіддалених від стороін кутів трикутника;

·  вказати що вони перетинаються у одній точці, що є центром вписаного кола трикутнгика, записати довжини відрізків бісектриси трикутника на які вона поділяється інцентром;

·  записати міру кута при інцентрі через міру кута трикутника;

·  пригадати формулу Лагранжа;

·  вказати, що бісектриси внутрішнього й зовнішнього кутів при одній вершині трикутника взаємно перпендиткулярні;

·  сформулювати теорему про точку перетину продовження бісектриси трикутника з описаним навколо нього колом й наслідки з неї;

·  пригадати опорні задачі, у тому числі й на побудову, пов’язані з властивостями бісектрис трикутника (наприклад, як відновити трикутник за трьома прямими, що містять бісектриси трикутника і двома точками на них, що є основами бисектрис);

·  тощо.

Зауважимо, що питання із двома зірочками відносяться до необов’язкових для учнів ЗОШ (пропоновані для класів з поглибленим вивченням математики).

Орієнтовне погодинне планування

Тема1. ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

Зауважимо, що ця тема є однією з найголовніших тем курсу планіметрії, пронизує весь матеріал 9-го класу, широко використовується в алгебрі й фізиці.

В підручнику пропонується для вивчення першою (в супереч з програмою ЗОШ, де вона зазначена як тема 3). Зауважимо, що така послідовність обумовлюється тим, що розширення понять тригонометричних функцій для кутів від 0о до 180о легко сприймається учнями, якщо його вводити через координати точки одиничного півкола. Тоді й основне тригонометричне співвідношення учні запам’ятовуються як „теоорему Піфагора в тригонометрії”.

Для загальноствітніх шкіл, що мають 2 навчальних години геометрії на тиждень, пропонується приділити цій темі біля 10 год (разом із тематичним оцінюванням і уроком корекції знань).

Орієнтовне погодинне планування

§1. Уроки 3-5. Розпочинаємо з того, що з’ясовуємо з учнями „У чому полягає відкриття Декарта (1596 –1675)? Ми називаємо його Аналітичною геометрією. Як і все геніальне, воно геніально просте. Основна думка Декарта полягала в тому, щоб Змусити алгебру працювати на геометрію.”

Зауважимо, що останнє дуже важливо, ми будемо звертатись до зміста цього твердженням неодгноразово протягом курсу (с. , §10, додатки 1-2 ). Це допоможе учнрям сформувати неформане сприйняття матеріалу, навчитися залучати певні знання при роботі з іншими темами, відчути значення відкриття, зробленого Декартом. Окрім того, таке „живе наповнення теми” сприятиме розвитку в учнів зацікавленості математикою, пошукового й творчого мислення.

Повторюємо з учнями поняття прямокутної декартової системи координат. При тому звертаємо їхню увагу на взаємнооднозначну відповідність між параю чисел і точкою на координатній площині. Важливо, щоб учні усвідомили, що ПрямокутнА системА координат Декарта це не просто дві взаємно перпендикулярні числові вісі, - а саме оця однозначна відповідність.

Для класів з поглибленим вивченням математики пропонується (с.10) довести

Цю відповідність спираючись на ознаки рівності прямокутних трикутників й аксіоми геометрії.

Доцільно звернути увагу учнів на особистість Декарта, на його непросту долю сироти й

Надзвичайну мужність, його відношення до поезії й до математики, як поезії природи (див. рубрику „Для допитливих” на с. 10-12). Зверніть увагу учнів також на роль аналітичної геометрії у розвитку поняття числа (с.19).

Закцентуйте,”що кожній точці декартової площини ми вміємо поставити у відповідність пару чисел. А що можна поставити у відповідність лінії на площині? Декарт пропонує У відповідність лініям площини ставити рівняння з двома невідомими X і Y так, що:

Координати довільної точки, яка лежить на цій лінії, задовольнятимуть це рівняння, а координати точок, що не лежать на цій лінії не задовольнятимуть його.”

Виводячі формулу координат середини відрізка озадачте учнів питанням, що робити, якщо відрізок буде параллельний одній з осей координат. Нехай самостійно вирішать питання, чи буде отримана вами формула правильною для цих випадків.

Після опрацювання рівняння кола Можна (якщо не на уроці, то на позакласних заняттях) сказати (с.13), що при розв’язуванні геометричних задач методом координат у більшості випадків треба не лише перевести її на мову алгебри і розв’язати алгебраїчну задачу, а ще й уміти дати геометричне тлумачення отриманому алгебраїчному результату. Наприклад Рівняння описує коло, центом якого є початок координат О(0;0). А рІвняння Визначає або коло, або точку, або порожню множину. Щоб відповісти на останнє запитання, який саме випадок має місце для конкретного рівняння, треба виділити повні квадрати відносно X та Y.

Можгна також зазначити, ЯКщо на площині задано три точки А, В, С і для відстаней між ними виконується співвідношення

,

То ці точки розміщені на одній прямій (при тому точка С лежить між точками А і В).

В класах з поглибленим вивченням математики (або на позакласних заняттях в ЗОШ) виводимо за допомоги узагальненої теореми Фалеса формули для координат точки, яка ділить відрізок у заданному відношенні (с.14).

Приклади розв’язування задач (с. 15-18) пропонуються трьох рівней складності. В класах ЗОШ можна обмежитися першими трьома, а можна певним учням запропонувати розібрати й доповісти розв’язування, наприклад, на позакласніх заняттях й інших прикладів.

В маткласах зверніть увагу не тільки на наведені приклади розв’язування задач, а й на опорну задачу, пропоновану рубрикою „Для допитливих” (с. 18) .

Для класів ЗОШ доцільно або в класі, або як домшє завдання запропонувати учням виконати практичну работу (с.18) – виконання її етапів допоможе за рахунок практичної діяльності „руками”, пов ’язаної з алгоритмичними діями обчисленнь усвідомити та запам’ятати опорну інформацію параграфа.

У класах з поглибленим вивченям математики зверніть увагу в завданні 1 на задачі № 8-13, 22-28, 33-45. Останні задачі відповідають рівню вимог вступних іспитів до ВТНЗ або останнім двом рівням НЗО.

§2. Уроки 6-7. Пропонується, як Матеріал необов’Язковий для оцінювання в ЗОШ, отримати загальне рівняння прямої й розглянути питання, у якому випадку його не можна записати у вигляді лінійної функції, проаналізувати інші частні випадки рівняння прямої й сформулювати висновок (с. 25):

Висновок:

·  Тільки за умови рівняння прямої можна записати у вигляді , графік прямої не паралельний осі ОY;

·  При B = 0 маємо пряму, паралельну осі ОY, рівняння її , рівняння прямої не можна представити у вигляді ;

·  При А = 0 маємо пряму паралельну осі Ох ;

·  При с = 0 маємо рівняння прямої пропорційності .

Аналізуючи з учнями як знайти рівняння прямої, якщо задано дві її точки, не забудьте пригадати з ними аксіому геометрії стосовно такої прямої й окремо розглянути випадок, коли абсциси заданих точок однакові (с.25).

Акцентуємо увагу учнів на геометричному змісті кутового коефиента в рівнянні прямої (с.26).

В класах з поглибленим вивченням (на позакласних заняттях в ЗОШ) розгляньте необхідну й достатню умову належності трьох точок одній прямій (с. 26) та рівняння прямої у відрізках (с.28, 38).

Теорема. Необхідною і достатньою умовою розміщення трьох точок С (X; Y), А(X1;Y1) і В(X2;Y2) на одній прямій є виконання співвідношень

.

В класах з поглибленим вивченям доцільно розв’язати у Завдання 3 задачі з зірочками, а також задачі на запис рівняння прямої у відрізках на с. 39; у класах ЗОШ – обмежитися пропонованими у погодинному плануванні, а окремі задачі з зірочками та зі с. 39 запропонувати певним учням або на позакласних заняттях.

§3. Уроки 8-9. Тема взаємного розміщення прямих на координатній площині не зазначна у програмі ЗОШ, проте є дуже важливою не тільки для розуміння учнями геометричного змісту рівняння прямих, що сприятиме розумінню розв’язування системи алгебраїних лінійних рівнянь (с. 34) (у тому числі й з параметрами), використанні геометричної інтерпритації з задачах на рух (Додаток 2). Зауважимо, що відповідний матеріал доцільно залучити до опрацювання на уроці (В мат-класах) або на позакласних заняттях (ЗОШ).

Зверніть увагу учнів на властивості рівнянь паралельних прямих (с. 32) і, як Матеріал необов’Язковий для оцінювання в ЗОШ, Властивості рівняння взаємно перпендикулярних прямих (с.35). Сформулюйте з учнями висновок про кількість розв’язків системи лінійних рівнянь (с.34).

В класах з поглибленим вивченням математики (на позакласних заняттях ЗОШ) запропонуйте учням довести теорему про суми квадратів відстаней точки площини прямокутника від протилежних його вершин (с. 37).

Приклади розв’язування задач представлено трьох рівней складності.

В класах з поглибленим вивченням математики (на позакласних заняттях ЗОШ) зверніть увагу на задачі у Завданні 4, позначені двома зірочками –

Уроки 10-12 Узагальнити вивчене, здійснити атестацію та корекцію знань учнів допоможуть задачі „Завдання для повторення розділу І” № 1-6, 16-30 (с. 80) та „Готуємося до тематичного оцінювання №1” (с. 84).

Нагадаємо, що питання позначені вертикальною кольоровою рискою відносяться до обов’язкового мінімуму знань.

Звертаємо увагу вчителів Класів з поглибленим вивченням математики та вчителів ЗОШ, що провордять позакласні заняття на Необв’Язковий для вивчення в ЗОШ матеріал, що міститься в § 10 „Метод координат, як засіб розв’Язування геометричних задач” (с. 75), додаток 1 „Про відкриття Декарта і пошуки геометричного місця точок площини” (с. 209) та додаток 2 „Ще раз про відкриття Декарта, завдяки якому геометрія може допомагати алгебрі”.

У § 10 іллюструється ефективність застосування методу координат – наводяться приклади розв’язування задач двома способами: перший – методом координат, другий – засобами елемепнтарної геометрії.

У додатку 1 розглядаються за допомоги координатного метода властивості деяких ГМТ, у тому числі й кола Аполлонія, рівняння еліпса, гіперболи та параболи, завдання для самостійногшот дослідження (для реферативних робіт МАН), розглядається опис цих кривих стародавніми.

У додатку 2 пропонуються приклади розв’язування алграїчних задач за допомоги геометричної інтерпритації координатного метода на рух, оптимізацію тощо.

Можна обговорити з учнями (Додатковий матеріал), що існують й інші системи координат, окрім прмокутної декартової системи, що інколи зручно задавати різні одиниці виміру по координатних осях (с. 43, рубрика „Для допитливих”, додаток 2).

Тема 2. Тригонометричні функції кутів від 0о до 180о. Розв’Язування

трикутників

Для загальноствітніх шкіл, що мають 2 навчальних години геометрії на тиждень, пропонується приділити цій темі біля 12 год (разом із тематичним оцінюванням і уроком корекції знань).

Орієнтовне погодинне планування

§4. Уроки 13-14. Спираючись на зображення одиничного півкола розширюємо з учнями поняття основних тригонометричних функцій кута. Для цього розглядаємо прямокутну декартову систему координат із початком у вершині гострого кута прямокутного трикутника з одиничною гіпотенузою, при тому вісь абсцис спрямуємо вздовж катета, що є стороною цього гострого кута. Нагадаємо учням означення тригонометричних функцій вказаного гострого кута. Вказуємо, що синус і косинус цього кута ЧИСЕЛЬНО дорівнюють координатам вершини другого гострого кута трикутника, тобто кінця гіпотенузи, що не є початком координат. За аналогом вводимо поняття тригонометричних функцій кута від 0о до 180о.

Обговоріть з учнями, що означає рівність двох величин „чисельно” Підкреслить, що всі виміри (довжини катетів трикутника, його гіпотенузи, а отже і радуса кола та проекцій точок кола на координатні осі) повинні бути представлені через одну одиницю виміру.

Спираючись на властивості координатної площини визначаємо з учнями знаки тригонометричних функцій гострого й тупого кутів, кутів міри 0о, 90о і 180о(с. 41).

Доводимо основну тригонометричну тотожність, спираючись на рівняння кола:

( чисельно , ) й обговорюємо правильність інших співвідношень між тригонометричними функціями одного й того самогокута (с.42).

Зверніть увагу учнів на те, що тепер ми отримаємо з основної тригонометричної тотожности значення косинуса кута під знаком модуля, який відкривається з урахування того в якій з двох координатних чвертей знаходиться кут.

Розглянувши за допомоги одиничного півкола, зв’язок між значеннями сцуміжних кутів, узагальнюємо уявлення учнів про геометричний зміст кутового коефіцієнта прямої (с. 42).

Як Матеріал необов’яЗковий для оцінювання (в ЗОШ) пропонується проаналізувати зміну значень тригонометричнизх функцій при зростанні кута від 0о до 90о і від 90о до 180о (с.43). У цьомц вам допоможе практична робота 2.

§5. Уроки 15-16. Переш ніж виводити теорему синусів, пропонуємо довести формулу для площі трикутника через довжини двох його сторін і синус кута між ними. Тоді, з трьох виразів для значення площі трикутгника через синуси його кутів отримажємо теорему синусів.

Звертаємо увагу учнів, що у доведені ми використали метод площ. Окрім того, як Матеріал необов’Язковий для оцінювання (в ЗОШ) пропонуємо довести цю саму теорему іншим способом, методом допоміжного кола – описавши навколо трикутника коло розглядаємо кут, одна з сторін якого містить діаметр кола і який спирається на ту саму дугу, що й кут трикутника. Маємо прямокутний трикутник і рівність, що нащзівають розширеною теоремою синусів. Як наслідок отимаємо формулу для обчислення площі трикутника через радіус описанного навколо нього кола.

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) пропонується довести, користуючись теоремою синусів, твердження, відоме учням з 7 класу,: в трикутнику проти більшої сторони міститься більший кут.

Розв’язування задач (Завдання 6) має за мету закріпити елементарні навички використання теореми синусів. В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) зверніть увагу на задачі на побудову №32-33 та задачі №29-31, що передують ним.

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) також можна розповісти учням фрагменти біографії Паскаля та розглянути теорему Паскаля (с. 47, 50, 53).

§6. Уроки 17-18. Теорема косинусів легко довести координатним методом: вісь абсцис направити вздовж однії з сторін трикутника, початок координат розмістити у одній з вершин трикутника і знайти квадрат довжини протилежної сторони через координати її кінців.

Як Матеріал. необов ’Язковий для оцінювання в ЗОШ розгляньте наслідки теороеми косинусів про сумму квадратів діагоналей параллелогроама та про вираз квадрату медіани трикутника через довжини його сторін. Знання цих опрорних фактів важливо для учнів, що будуть здавати НЗО чи вступні іспити до ВТН.

Розв’язування задач (Завдання 7) має за мету закріпити елементарні навички використання теореми косинусів. В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) зверніть увагу на задачі № 14-23 у завданні 8 (с. 59), задачі на доведення з використанням теорем синусів і косинусів (с. 52 рубрика „для допитливих”); теорему про те, що більшому куту трикутника відповідає менша його бісектриса (с. 58); задачі (у тому числі і задачу на побудову Паппа) рубрики „Для допитливих” на с. 59..

§7. Урок 19. Присвячуємо розв’язуванню трикутників, прикладним задачам цієї теми. Фактично цей урок є узагальнюючим уроком прикладної направленості, бо відповідні завдання учні виконували на попередніх уроках. Доцільно звернути увагу учнів на що таке „основні елементи трикутника”, що означає „трикутник визначений”.

Можна запропонувати учням (Як ЗОШ так мат-класів) розгадати софізми, пов’язані з використаням теореми синусів (с. 55, 56).

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) зверніть увагу учнів на четвертий випадок розв’язування трикутників – по двом сторонам і куту не між ними. Порівняйте цей випадок із четвертою ознакою рівності трикутників. Обговоріть, скільки розв ’язків має така задача, чи може у цьому випадку трикутник бути визначений однозначно.

§8. Уроки 20-21. В класах ЗОШ пропонується довести формулу для обчислення площі описанного багатокутника через радіус кола, вписаноого в нього, ознайомлення з доведенням (Без обов ’Язкового оцінювання знань цих доведень) формул обчислення площі трикутника через синуси його кутів і радіус описаного кола та сторону трикутника, формули Герона. А також формули для обчислення площі чотирикутника через довжини його діагоналей і синус кута між ними.

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) пропонується розглянути доведення формули Герона через властивости зовнівписаного кола трикутника (с. 62, 63), а також доведення формули для обчислення площі неопуклого чотирикутника через довжини його діагоналей і синус кута між ними.

При розв’язуванні задач (Завдання 9) за бажанням вчителя можна, окрім пропонованих у погодинному плануванні розглянути На уроці або на позакласних заняттях Задачі з зірочкою.

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) важливо (для підготовки до майбутнього НЗО чи вступних випробувань) звернути увагу в Завданні 9 , окрім задач із зірочкою, на задачі з двома зірочками та задачі рубрики „Для допитливих” на с.60, 63,64, 65.

§9. Урок 22 – Пропонує матеріал Необов’Язковий для оцінювання - фактично узагальнює вже здобуті навички використання площі при розв’язуванні задач, усвідомити, що саме називають методом площ.

Пропонується акцентувати увагу учнів на певних фактах про площу:

·  рівновеликість частин, на які трикутник поділяє його медіана;

·  відношення площ трикутників, що мають спільну або рівну висоту;

·  відношення площ трикутників, що мають спільний або рівний кут.

Пропонується довести методом площ теорему про перетин медіан трикутника, ознайомитися з опорною задачею про те, що медіани трикутника поділяють його на шість рівновеликих трикутників із площею, що дорівнює шостій частині площі заданого трикутника, довести формулу для синуса подвійного кута.

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) доцільно приділити цій темі значно більше часу. Пропонується методом площ довести теорему Чеви та розглянути як її наслідок тригонометричну форму теореми Чеви. Можна запропонувати учням довести й інші наслідки теореми Чеви (с. 70):

1. Медіани трикутника перетинаються в одній точці.

2. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

3. Висоти трикутника перетинаються в одній точці.

4. Прямі, що проходять через вершини трикутника і ділять його периметр навпіл

перетинаються в одній точці.

5. Прямі, що проходять через вершини трикутника і точки дотику (до протилежної сторони) вписаного в цей трикутник кола перетинаються в одній точці.

6. Прямі, що проходять через вершини трикутника і точки дотику (до протилежної сторони) зовнівнисаних в цей трикутник кіл перетинаються в одній точці.

Пропонується, окрім того, в мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ): довести теорему Жергона (с. 70), опорний факт про формулу для обчислення довджини бісектриси трикутника через довжини його сторін та косинус половини одного з кутів трикутника (с. 72), розглянути опорну задачу про відношення площ трикутників, на які поділяють чотирикутник його діагоналі й використання цього факта у опорній задачі про обчислення відношення у яких поділяєя дві чевіани трикутника їх точка перетину (с.72).

Зверніть також увагу учнів мат-классів (на позакласних заняттях в ЗОШ) на опорну задачу про обчислення площі трикутника через довжини його висот (рубрика „Для допитливих” на с. 72) та використання цього факту при розв’язуванні задач (рубрика „Для допитливих” на с. 73; задачі з двома зірочками у Завданні 10; задачі рубрики „Для допитливих” на с. 74.

Уроки 22-24. Узагальнити вивчене, здійснити атестацію та корекцію знань учнів допоможуть задачі „Завдання для повторення розділу І” № 7-15, 31-50 (с. 82) та „Готуємося до тематичного оцінювання №2” (с. 84).

Нагадаємо, що питання позначені вертикальною кольоровою рискою відносяться до обов’язкового мінімуму знань.

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) зверніть увагу на задачі з двома зірочками та задачі рубрики „Для допитливих” на с. 76, 78, 79, 83.

Тема 3. Правильні багатокутники. Довжина кола. Площа круга

Зазначимо, що в перекладі з російської за Російсько-українським словником наукової термінології Гейченко В. В. та ін. (К.: Наук. Думка, 1998. – 892 с.): „многоугольник” однозначно перекладається як „багатокутник”.

З поняттями багатокутника, опуклого і неопуклого багатокутників, описаного і вписаного багатокутників, правильного багатокутника учні знайомі з 8 класу. Мета опрацювання цієї теми в 9 класі - розширити відомості учнів про багатокутники і коло, розвинути вміння і навички обчислювати значення геометричних величин (елементів правильних багатокутників, довжини кола та його дуг), у тому числі із застосуванням тригонометричних функцій.

Для загальноствітніх шкіл, що мають 2 навчальних години геометрії на тиждень, пропонується приділити цій темі біля 8 год (разом із тематичним оцінюванням і уроком корекції знань).

Орієнтовне погодинне планування

§11. Уроки 25-27. Нагадуємо означення правильного багатокутника, вписаного й описаного багатокутників, вводимо поняття однойменних багатокутників. Доводимо теорему про те, що правильний багатокутник є вписаним й описаном, при тому центри вказаних кіл збігаються (відповідна точка – центр правильного багатокутника). Доводимо формули для обчислення міри центрально кута правильного багатокутника, радиусів його вписаного й описаного кіл, площи.

При тому бажано, щоб учні вміли не тільки записувати радіуси вписаного й описаного кіл, площі првильного багатокутника через довжину його сторони та число його вершин, а й для спільного описаного кола заданого радіуса записували через його значення довжину сторони та радіус вписаного кола для трикутника, чотирикутника й шестикутника.

Зверніть увагу учнів, що для двох однойменних правильних багатокутників відношення відповідних лінійних елементів є величиною сталою.

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) пропонується розглянути правильний п’ятикутник (с. 88, 93, с. 92 рубрика „Для допитливих”), скориставшись формулою для синуса подвійного кута (с. 71) та значенням синуса 18о(див. форзац). Довести теорему про зв’язок між лінійними елементами правильних n-кутника і 2n-кутника (с. 89) і використати отримані формули для побудови правильного 10-кутника.

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) можна, скориставшись рубрикою „Для допитливих” дещо розширити знання учнів з теми „багатокутники”: довести нерівність Птолемея для довільного опуклого чотирикутника (с. 89), розглянути багатокутники з вершинами у вузлах цілочислової решітки (с. 90), у тому числі довести формулу Піка про значення площі такого багатокутника.

Сформувати елементарні навички розв’язування задач допоможуть практичні роботи №5, 6 (с. 94).

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) при розв’язуванні задач зверніть увагу на задачі з двома зірочками в Завданні 12, задачі на розрізання й тріангуляцію (с. 94, 97) та задачі розміщені у рубриці „Для допитливих” на с. 95, 96, 98.

§12-13. Уроки 28-30. Зверніть увагу учнів на історію обчислень довжини кола (с. 98, рубрика „Для допитливих” на с.99, 101, 102, 105, 106, 107, 108, 109) – це підкреслить важливість цього питання у житті людства, сприятиме зацікавленості учнів тематикою.

Виконайте з учнями практичні роботи №7-8 (с. 100) та №9 (с. 105) - це допоможе їм у оволодінні опорними знаннями.

В мат-классах (позакласні заняття в ЗОШ) зверніть увагу на задачу рубрики „Для допитливих” на с. 100 та задачі з двома зірочками у Завданнях 13 та 14.

Уроки 30-32. Узагальнити вивчене, здійснити атестацію та корекцію знань учнів допоможуть задачі „Завдання для повторення розділу ІІ”(с. 107) та „Готуємося до тематичного оцінювання №3, 4” (с. 109).

Нагадаємо, що питання позначені вертикальною кольоровою рискою відносяться до обов’язкового мінімуму знань.